circular a écrit: Quelques questions à propos de l'exception de poids zéro.
- Le fait d'interpréter le poids zéro comme une ellipse, est-ce que c'est cela qui n'est pas standard ?
D'après la définition de Lionel Garnier (qui a étudié et développé pour sa thèse ce genre de courbes, entre autres, c'est lui qui m'a fait connaître ceci), une courbe de Bézier rationnelle quadratique revient à associer un poids à chacun des trois points, elle est quasi standard lorsque le premier et le troisième point (extrémités de la courbe) ont un poids égal à 1. Dans une courbe de Bézier rationnelle standard (la courbe classique), les trois poids sont égaux à 1.
- Le décrire avec un vecteur me semble une exception pas nécessaire. On peut définir c = f(1/2) et comme ça pas de vecteur.
Prendre $c=f(1/2)$ ? Mais la courbe ne passe pas par c ! Lorsque le poids (du second point) est plus grand que -1, non nul, et différend de 1, la courbe est un arc d'ellipse (impossible à obtenir avec une courbe standard), les tangentes aux extrémités sont les droites $(p_1c)$ et $(cp_2)$ définies par les trois points de contrôles, ce qui montre
qu'on ne peut pas avoir un arc d'ellipse avec les tangentes aux extrémités qui sont parallèles, ce cas correspond à deux extrémités diamétralement opposés sur l'ellipse (mais par forcément sur un des axes principaux de l'ellipse). L'idée de Lionel (et Jean-Paul Bécar) a été d'introduire la notion de
vecteur de contrôle (au lieu de point) en mettant un poids nul et avec le paramétrage :
$$ t\mapsto \frac{(1-t)^2p_1+t^2p2}{(1-t)^2+t^2}+\frac{2t(1-t)}{(1-t)^2+t^2}c$$
ils ont vérifié qu'une telle courbe est une demi-ellipse et que la tangente aux extrémités est dirigée par le vecteur c, c'est pile le cas qui manquait (en réalité ce qu'ils ont étudié est beaucoup plus général).
- Ne serait-ce pas redondant avec ArcDef? En effet, définir une demi-ellipse peut se faire avec ArcDef. Il n'y a pas de fonction qui permette de le définir avec le point de contrôle, mais cela peut se faire.
Je ne sais pas ce que fait ArcDef, mais je sais qu'une courbe de Bézier standard ne donnera jamais un arc d'ellipse.
Sinon il me semble que tu disais que l'on pouvait transformer affinement cela, ce qui à ce moment-là permettrait plus que l'ArcDef, qui ne peut être que tourné et zoomé mais pas de déformation différente selon deux axes. Ce serait l'intérêt du remplacement du poids zéro?
Un des grands intérêts des courbes de Bézier est que leur image par une application affine est encore une courbe de Bézier dont les points de contrôles sont les images des images des points de contrôles de la première. Cela vaut pour les courbes de Bézier rationnelles (puisque les points de la courbe sont des barycentres des points de contrôles), et cela vaut aussi lorsque le poids est nul à condition de transformer c (qui est un vecteur de contrôle dans cas) avec la partie linéaire seulement. Exemple:
- CBRQ3.png (12.76 Kio) Consulté 48797 fois
À gauche en rouge demi-ellipse avec les vecteurs tangents en p1 et p2 (égaux à c), en pointillés bleus la même courbe en changent c en -c.
À droite l'image de celle de gauche par la transformation affine :
$$\left\{\begin{array}{rl} x'&=1.5x+7\\y'&=x/4+y/2\end{array}\right.$$
(seuls p1, p2 et c ont été transformés avant de retracer la courbe de Bézier).