Groupe fondamental

Groupe fondamental

Messagepar homer3018 » 13 Déc 2009 10:59

Bonjour,

J'ai à nouveau besoin d'aide pour quelques dessins...

Pour le premier cas, il s'agit de trouver le groupe fondamental de R^3 \ {n droites passant par l'origine}
On cherche donc les classes des lacets qui ne sont pas homotopes entre eux, puisque le groupe fondamental est un quotient par la relation d'homotopie des lacets...
Par exemple un lacet basé en un point qui n'appartient à aucune droite, qui fait un petit truc puis qui revient en x sans s'occuper des droites, lui il est homotope au lacet trivial (celui basé en x qui y reste)
il faut donc "compter" le nombre de tours que les lacets peuvent faire autour des droites, mais si on considère par exemple (c'est là qu'un dessin serait le bienvenu) R^3 \ {les 3 droites du repère orthonormal de R^3} pour fixer les idées, si le lacet fait un tour au dessus de l'origine de la droite verticale, puis qu'il en fait un sur la même droite mais en dessous de l'origine, puis qu'il revient faire un dernier tour sur la même droite mais au dessus à nouveau de l'origine, ce lacet n'est pas homotope à celui qui fait 3 tours sur la droite vertical, car à l'origine ca va "coincer" du fait qu'il y a minimum 2 droites (pour une droite tout va bien)

Premier dessin : comme je viens de l'expliquer, j'espère que le contexte vous aidera. il y a donc 2 dessins, celui qui fait des tours en alternant avec l'origine, et celui qui fait 3 tours au dessus de l'origine.
si c'est plus simple à réaliser, on peut faire par exemple un tour sur la vertical au dessus de l'origine, puis 1 sur une horizontale, puis à nouveau sur la droite vertical au dessus de l'origine, et 2ème dessin : 2 tours sur la vertical au dessus de l'origine, puis un seul autour d'une horizontale. ces deux là sont peut-être plus simple à comprendre.
Si on imagine que les lacets sont en caoutchouc, on ne peut absolument pas transformer l'un en l'autre.



Pour la suite c'est presque pareil

Trouver le groupe fondamental de R^3\ X lorsque X est :
1. Un cercle de rayon 1 et centre en (0; 0; 0).
2. L'union de deux cercles de rayon 1, l'un centre en (0; 0; 0), et l'autre
centre en (5; 0; 0).
3. L'union de n cercles de rayon 1, centres en (5k; 0; 0), pour k = 0; : : : ; n

4. L'union de deux cercles de rayon 1, l'un centre en (0; 0; 0) et contenu
dans le plan d'équation z = 0, et l'autre centre en (1; 0; 0) et contenu
dans le plan d'équation y = 0.

dessin du 1 : simplement un lacet qui fait 3 ou 4 tours dans le cercle (le groupe fondamental sera isomorphe à Z)

dessin du 2 : pareil que pour les droites, il faut en fait 2 dessins , le premier sera un lacet qui fait un tour dans le cercle 1, un tour dans le cercle 2, puis à nouveau un tour dans le cercle 1; le 1ème dessin sera un lacet qui fait 2 tours dans le cercle 1 puis un tour dans le cercle 2.

dessin du 3 : pas la peine

dessin du 4 : en fait la figure ce sera comme ci on joint notre index à notre pouce, avec les deux mains, mais ces deux sont imbriqués l'un dans l'autre, et là il y a beaucoup de possibilités, je n'ai aucune idée de ce que peut être le groupe fondamental dans ce cas là :-(
mais un dessin est tout de même nécessaire pour montrer la complexité du problème.



enfin une dernière chose :
dans le cadre du lemme du ping pong, il me faudrait simplement :
un repère dans R^2 avec légende x et y
les 2 droites d'équation y= (1/2)x et y= - 2x

Après il faut hachurer des domaines A^+, A^- et B^+ et B^- comme sur le dessin suivant.
Image


Je vous remercie d'avance du coup de main, et si quelqu'un a une idée pour le groupe fondamental dans l4ème cas, les deux cercles imbriqués, je suis preneur :)

Merci encore
homer3018
 
Messages: 19
Inscription: 20 Juil 2009 20:55

Re: Groupe fondamental

Messagepar P.Fradin » 13 Déc 2009 16:19

Bonjour homer,

Pris par le temps, je n'ai pas cherché à arrondir les angles. Mais Est-ce qu'un truc dans ce style irait pour la première figure:

Code: Tout sélectionner
[
Marges(0,0,0,0),
background(full,lightgray),
A:=M(2,-2,2), B:=M(2,2,2), C:=M(-2,2,2),D:=M(-2,-2,2), D':=M(0.5,-2,2),
E:=M(2,-2,-2), F:=M(2,2,-2), G:=M(-2,2,-2), H:=M(-2,-2,-2), H':=M(1,-2,-2),
I:=M(1,-1,1), J:=M(1,1,1), K:=M(-1,1,1), L:=M(-1,-1,1),
Build3D(
        bdAxes(Origin, [arrows:=1,arrowscale:=1.5, color:=gold]),
        bdLine([A,B,C,D,D',E,F,G,H,H',I,J,K,L],
            [color:=crimson, tube:=1, radscale:=2, nbfacet:=10, backculling:=1,close:=1])
        ),
Display3D()
]


lacet1.png
lacet1.png (18.61 Kio) Consulté 10971 fois
P.Fradin
Avatar de l’utilisateur
P.Fradin
Administrateur du site
 
Messages: 1835
Inscription: 29 Oct 2008 15:04

Re: Groupe fondamental

Messagepar homer3018 » 13 Déc 2009 16:41

eh bien, bien qu'un truc fluide serait plus joli, je peux me contenter de ça, mais bon je vous cache pas que je préfèrerai un truc plus 'rond', mais sinon c'est ça !

Il faudrait aussi qu'on voit 'mieux' si possible ce que le lacet fait, là on a (jai) un peu de mal distinguer s'il va derrière ou devant les droites, même si en se rapprochant on voit qu'il passe devant ou derrière les droites...

Je dois terminer ce travail pour mardi matin au plus tard.

Merci
homer3018
 
Messages: 19
Inscription: 20 Juil 2009 20:55

Re: Groupe fondamental

Messagepar P.Fradin » 13 Déc 2009 18:40

J'ai essayé d'arrondir le lacet à coup de courbes de Bézier, avec la macro suivante:

Code: Tout sélectionner
[
$L:=%1, $A:=L[-1,2], $B:=L[1,2],
$L':= for Z in [L[3,0],A] By 2 do
          $C:=A, A:=B, B:=Z,
          A,normalize(B-C)
       od,
B:=L'[1,2], $uB:=L'[3,2],
for Z in [L'[5,0],B,uB] By 4 do
 A:=B, $uA:=uB, B:=Z[1,2], uB:=Z[3,2],
 $d:=Norm(B-A)/3, $C1:=A+d*uA, $C2:=B-d*uB,
 $x:=0, A,
 for $k from 1 to 9 do
     Inc(x,1/10),
     (1-x)^3*A+3*(1-x)^2*x*C1+3*(1-x)*x^2*C2+x^3*B,
 od,
 B,
od
]


L'élément graphique devient:

Code: Tout sélectionner
[
Marges(0,0,0,0),
background(full,lightgray),
A:=M(2,-2,2), B:=M(2,2,2), C:=M(-2,2,2),D:=M(-2,-2,2), D':=M(2.5,-2.5,2),
E:=M(2,-2,-2), F:=M(2,2,-2), G:=M(-2,2,-2), H:=M(-2,-2,-2), H':=M(1,-2,-2),
I:=M(1,-1,1), J:=M(1,1,1), K:=M(-1,1,1), L:=M(-1,-1,1),
Build3D(
        bdAxes(Origin, [arrows:=1,arrowscale:=1.5, tube:=1, smooth:=1, color:=gold]),
        bdLine( lacet3d([A,B,C,D,D',E,F,G,H,H',I,J,K,L]),
            [color:=crimson, tube:=1, radscale:=2, nbfacet:=6, smooth:=1, backculling:=1,close:=1])
        ),
Display3D()
]


lacet2.png
lacet2.png (15.75 Kio) Consulté 10952 fois


Bien sûr ce n'est pas toujours facile à bien voir où passe la lacet puisqu'on fait une projection plane. Ci-dessous il s'agit d'un export pour javaview manipulable à la souris:



Je ne pourrai pas t'aider beaucoup plus d'ici mardi, demain la journée est chargée. Je serai plus tranquille à partir de mercredi après-midi.
P.Fradin
Avatar de l’utilisateur
P.Fradin
Administrateur du site
 
Messages: 1835
Inscription: 29 Oct 2008 15:04

Re: Groupe fondamental

Messagepar P.Fradin » 13 Déc 2009 19:10

Pour le deuxième cas de figure:

Code: Tout sélectionner
[
Marges(0,0,0,0),
background(full,lightgray),
A:=M(2,-2,1), B:=M(2,2,1.25), C:=M(-2,2,1.5), D:=M(-2,-2,1.75),
E:=M(2,-2,2), F:=M(2,2,2.25), G:=M(-2,2,2.5), H:=M(-2,-2,2.75),
I:=M(2,-2,3), J:=M(2,2,3.25), K:=M(-2,2,3.5), L:=M(-2,-2,3.75),
M:=M(0,-3,3.5), N:=M(1,-3,1.5),
Build3D(
        bdAxes(Origin, [arrows:=1,arrowscale:=1.5, tube:=1, smooth:=1, color:=gold]),
        bdLine( lacet3d([A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N]),
            [color:=crimson, tube:=1, radscale:=2, nbfacet:=6, smooth:=1, backculling:=1,close:=1])
        ),
Display3D()



lacet3.png
lacet3.png (14.55 Kio) Consulté 10944 fois
P.Fradin
Avatar de l’utilisateur
P.Fradin
Administrateur du site
 
Messages: 1835
Inscription: 29 Oct 2008 15:04

Re: Groupe fondamental

Messagepar P.Fradin » 13 Déc 2009 20:30

Avec 1 cercle:

Code: Tout sélectionner
[
Marges(0,0,0,0), R:=3, r:=1,
NewMac("f", "[(3+cos(t))*exp(i*t/10+i*pi/6),sin(t)]",t),
background(full,lightgray),
dep:=-3*pi/4,
L:= for k from 1 to 17 do f(dep), Inc(dep,pi/2) od,
Build3D(
        bdAxes(Origin, [arrows:=1,arrowscale:=1.5,color:=gold]),
        bdCercle( Origin,R,vecK, [tube:=1, nbfacet:=6, smooth:=1, backculling:=1, color:=steelblue]),
        bdLine( lacet3d(L),
            [color:=crimson, tube:=1, radscale:=2, nbfacet:=6, smooth:=1, backculling:=1,close:=1])
        ),
Display3D()
]


lacet4.png
lacet4.png (19.34 Kio) Consulté 10935 fois
P.Fradin
Avatar de l’utilisateur
P.Fradin
Administrateur du site
 
Messages: 1835
Inscription: 29 Oct 2008 15:04

Re: Groupe fondamental

Messagepar P.Fradin » 13 Déc 2009 22:49

La dernière pour aujourd'hui:

Code: Tout sélectionner
[
view(-3,7,-3.5,4.5),
theta:=-64*deg, phi:=46*deg,
Marges(0,0,0,0), R:=1.5, r:=0.5,
background(full,lightgray),
A:=M(1,0,-1), B:=M(2,0,-1), C:=M(2,0,1),D:=M(1,0,1),
E:=M(1,0.5,-1),E':=M(2.5,0.5,-1.5), F:=M(4,0.5,-1), G:=M(4,0.5,1), {H:=M(2,1,1.25),}
I:=M(1,1,1), J:=M(1,1,-1), K:=M(2,1,-1), L:=M(2,1.25,1),
M:=M(1,1.25,1),N:=M(0.35,0.75,0.5), O:=M(0.5,0.25,0.25),
L':=[A,B,C,D,E,E',F,G,H,I,J,K,L,M,N,O],
Build3D(
        bdAxes(Origin, [arrows:=1,arrowscale:=1.5,color:=gold]),
        bdCercle( Origin,R,vecK, [tube:=1, nbfacet:=6, smooth:=1, backculling:=1, color:=steelblue]),
        bdCercle( M(5,0,0),R,vecK, [tube:=1, nbfacet:=6, smooth:=1, backculling:=1, color:=steelblue]),
        bdLine( lacet3d(L'),
            [color:=crimson, tube:=1, radscale:=2, nbfacet:=6, smooth:=1, backculling:=1,close:=1])
        ),
Display3D()
]


lacet5.png
lacet5.png (19.6 Kio) Consulté 10925 fois
P.Fradin
Avatar de l’utilisateur
P.Fradin
Administrateur du site
 
Messages: 1835
Inscription: 29 Oct 2008 15:04

Re: Groupe fondamental

Messagepar homer3018 » 14 Déc 2009 12:49

Merci beaucoup,

Pour le tout dernier dessin, il me manque juste les parties hachurées, que j'arrive pas à faire :x
homer3018
 
Messages: 19
Inscription: 20 Juil 2009 20:55

Re: Groupe fondamental

Messagepar P.Fradin » 14 Déc 2009 16:20

Voilà une proposition pour les hachures:

Code: Tout sélectionner
[Axes(0,1+i),
 Droite(2,1,0),
 Droite(-0.5,1,0),
 A:=Xmax,
 B:= [0,2+i] Inter [Xmax,Xmax+i*Ymax],
 C:=i*Ymax+Xmax,
 D:=i*Ymax,
 E:= [0,1-2*i] Inter [i*Ymax,i*Ymax+Xmin],
 F:=i*Ymax+Xmin,
 FillStyle:=diagcross, FillColor:=gray, LineStyle:=noline,
 Ligne([A,B,-B,-A],1),
 FillStyle:=horizontal, FillColor:=red,
 Ligne([B,C,D,-D,-C,-B],1),
 FillStyle:=diagcross, FillColor:=red,
 Ligne([D,E,-E,-D],1),
 FillStyle:=vertical, FillColor:=gray,
 Ligne([E,F,-A,A,-F,-E],1),
 ]   


hachuresHomer.png
hachuresHomer.png (23.61 Kio) Consulté 10888 fois
P.Fradin
Avatar de l’utilisateur
P.Fradin
Administrateur du site
 
Messages: 1835
Inscription: 29 Oct 2008 15:04

Re: Groupe fondamental

Messagepar homer3018 » 14 Déc 2009 16:35

Merci :)
homer3018
 
Messages: 19
Inscription: 20 Juil 2009 20:55

Re: Groupe fondamental

Messagepar P.Fradin » 14 Déc 2009 17:30

Et pour les lacets, c'est bon ou tu t'es débrouillé autrement?
P.Fradin
Avatar de l’utilisateur
P.Fradin
Administrateur du site
 
Messages: 1835
Inscription: 29 Oct 2008 15:04

Re: Groupe fondamental

Messagepar homer3018 » 14 Déc 2009 19:49

ouai c'est bon, parfait :)

par contre pour la dernière figure avec les hachures j'ai pas eut le temps d'essayer, mais je voudrais juste rajouter genre dans un petit cercle où il n'y aurai pas d'hachurage le nom du domaine, comme sur ma figure, A^+ A^- et B^+ et B^-. C'est possible ?

en tout cas merci, bonne idée pour faire les hachures !
homer3018
 
Messages: 19
Inscription: 20 Juil 2009 20:55

Re: Groupe fondamental

Messagepar P.Fradin » 14 Déc 2009 22:09

Essaie ceci:

Code: Tout sélectionner
[Axes(0,1+i),
Droite(2,1,0),
Droite(-0.5,1,0),
A:=Xmax,
B:= [0,2+i] Inter [Xmax,Xmax+i*Ymax],
C:=i*Ymax+Xmax,
D:=i*Ymax,
E:= [0,1-2*i] Inter [i*Ymax,i*Ymax+Xmin],
F:=i*Ymax+Xmin,
FillStyle:=diagcross, FillColor:=gray, LineStyle:=noline,
Ligne([A,B,-B,-A],1),
FillStyle:=horizontal, FillColor:=red,
Ligne([B,C,D,-D,-C,-B],1),
FillStyle:=diagcross, FillColor:=red,
Ligne([D,E,-E,-D],1),
FillStyle:=vertical, FillColor:=gray,
Ligne([E,F,-A,A,-F,-E],1),

LabelStyle:=framed, FillStyle:=full, FillColor:=white, LineStyle:=noline,
Label(-4-i,"$A^+$"), Label(-3-4*i,"$B^-$"), Label(-4*i+1,"$B^+$"),
Label(4-i,"$A^-$"),
]


hachuresHomer2.png
hachuresHomer2.png (24.7 Kio) Consulté 10857 fois
P.Fradin
Avatar de l’utilisateur
P.Fradin
Administrateur du site
 
Messages: 1835
Inscription: 29 Oct 2008 15:04

Re: Groupe fondamental

Messagepar homer3018 » 14 Déc 2009 22:11

décidément, impeccable :D

merci beaucoup
homer3018
 
Messages: 19
Inscription: 20 Juil 2009 20:55


Revenir vers Géométrie de l'espace

Qui est en ligne ?

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur inscrit et 1 invité

cron