Bonjour,
J'ai à nouveau besoin d'aide pour quelques dessins...
Pour le premier cas, il s'agit de trouver le groupe fondamental de R^3 \ {n droites passant par l'origine}
On cherche donc les classes des lacets qui ne sont pas homotopes entre eux, puisque le groupe fondamental est un quotient par la relation d'homotopie des lacets...
Par exemple un lacet basé en un point qui n'appartient à aucune droite, qui fait un petit truc puis qui revient en x sans s'occuper des droites, lui il est homotope au lacet trivial (celui basé en x qui y reste)
il faut donc "compter" le nombre de tours que les lacets peuvent faire autour des droites, mais si on considère par exemple (c'est là qu'un dessin serait le bienvenu) R^3 \ {les 3 droites du repère orthonormal de R^3} pour fixer les idées, si le lacet fait un tour au dessus de l'origine de la droite verticale, puis qu'il en fait un sur la même droite mais en dessous de l'origine, puis qu'il revient faire un dernier tour sur la même droite mais au dessus à nouveau de l'origine, ce lacet n'est pas homotope à celui qui fait 3 tours sur la droite vertical, car à l'origine ca va "coincer" du fait qu'il y a minimum 2 droites (pour une droite tout va bien)
Premier dessin : comme je viens de l'expliquer, j'espère que le contexte vous aidera. il y a donc 2 dessins, celui qui fait des tours en alternant avec l'origine, et celui qui fait 3 tours au dessus de l'origine.
si c'est plus simple à réaliser, on peut faire par exemple un tour sur la vertical au dessus de l'origine, puis 1 sur une horizontale, puis à nouveau sur la droite vertical au dessus de l'origine, et 2ème dessin : 2 tours sur la vertical au dessus de l'origine, puis un seul autour d'une horizontale. ces deux là sont peut-être plus simple à comprendre.
Si on imagine que les lacets sont en caoutchouc, on ne peut absolument pas transformer l'un en l'autre.
Pour la suite c'est presque pareil
Trouver le groupe fondamental de R^3\ X lorsque X est :
1. Un cercle de rayon 1 et centre en (0; 0; 0).
2. L'union de deux cercles de rayon 1, l'un centre en (0; 0; 0), et l'autre
centre en (5; 0; 0).
3. L'union de n cercles de rayon 1, centres en (5k; 0; 0), pour k = 0; : : : ; n
4. L'union de deux cercles de rayon 1, l'un centre en (0; 0; 0) et contenu
dans le plan d'équation z = 0, et l'autre centre en (1; 0; 0) et contenu
dans le plan d'équation y = 0.
dessin du 1 : simplement un lacet qui fait 3 ou 4 tours dans le cercle (le groupe fondamental sera isomorphe à Z)
dessin du 2 : pareil que pour les droites, il faut en fait 2 dessins , le premier sera un lacet qui fait un tour dans le cercle 1, un tour dans le cercle 2, puis à nouveau un tour dans le cercle 1; le 1ème dessin sera un lacet qui fait 2 tours dans le cercle 1 puis un tour dans le cercle 2.
dessin du 3 : pas la peine
dessin du 4 : en fait la figure ce sera comme ci on joint notre index à notre pouce, avec les deux mains, mais ces deux sont imbriqués l'un dans l'autre, et là il y a beaucoup de possibilités, je n'ai aucune idée de ce que peut être le groupe fondamental dans ce cas là
mais un dessin est tout de même nécessaire pour montrer la complexité du problème.
enfin une dernière chose :
dans le cadre du lemme du ping pong, il me faudrait simplement :
un repère dans R^2 avec légende x et y
les 2 droites d'équation y= (1/2)x et y= - 2x
Après il faut hachurer des domaines A^+, A^- et B^+ et B^- comme sur le dessin suivant.
Je vous remercie d'avance du coup de main, et si quelqu'un a une idée pour le groupe fondamental dans l4ème cas, les deux cercles imbriqués, je suis preneur
Merci encore